幂等矩阵
幂等矩阵,幂等矩阵是幂等矩阵指若A为方阵,且A^2=A,幂等矩阵则A称为幂等矩阵。幂等矩阵
中文名:幂等矩阵
外文名:idempotent matrix
所属学科:数学
定义:A为方阵且A^2=A则A称为幂等矩阵
类别:线性代数
概述
等价命题1:若A是幂等矩阵幂等矩阵,则与A相似的幂等矩阵任意矩阵是幂等矩阵;
等价命题2:若A是幂等矩阵,则A的幂等矩阵AH,AT,A*,E-AH,幂等矩阵E-AT都是幂等矩阵幂等矩阵;
等价命题3:若A是幂等矩阵,则对于任意可逆阵T,T^(-1)·A·T也为幂等矩阵;
等价命题4:若A是幂等矩阵幂等矩阵,A的幂等矩阵k次幂任是幂等矩阵。
性质
幂等矩阵的幂等矩阵主要性质:
1.幂等矩阵的特征值只可能是0,1;
2.幂等矩阵可对角化;
3.幂等矩阵的幂等矩阵迹等于幂等矩阵的秩,即tr(A)=rank(A);
4.可逆的幂等矩阵幂等矩阵为E;
5.方阵零矩阵和单位矩阵都是幂等矩阵;
6.幂等矩阵A满足:A(E-A)=(E-A)A=0;
7.幂等矩阵A:Ax=x的充要条件是x∈R(A)。
应用
先利用分块矩阵的幂等矩阵初等变换证明了两个幂等矩阵的组合aP+bQ-cPQ的一个秩等式(其中a≠0,b≠0,P与Q是两个幂等矩阵)。再利用P-Q可逆的性质及投影算子,得出了一些可逆的组合P±Q,I-PQ,aP+bQ-cPQ-dQP的逆的显式表达式(其中P,Q是两个n阶幂等矩阵)。这些逆的表达式刻画了两个幂等矩阵的组合的一些特性。[1]
参考资料
1.关于两个幂等矩阵的组合的逆·知网空间