二阶导数
二阶导数是阶导数一阶导数的导数。从原理上看,阶导数它表示一阶导数的阶导数变化率;从图形上看,它反映的阶导数是函数图像的凹凸性。
中文名:二阶导数
外文名:second derivative
含 义:一阶导数的阶导数导数
几何意义1:切线斜率变化的速度
几何意义2:函数的凹凸性
应 用:判断函数凹凸性
定义
以导数定义法定义:如果函数的导数在处可导,则称的阶导数导数为函数在点处的二阶导数,记为。阶导数
以极限定义法定义:函数在xo处的阶导数二阶导数是导函数在xo处的导数,即
物理意义
以物理运动为例,阶导数我们知道,阶导数变速直线运动的阶导数速度是位置函数对时间的导数,即
这种导数的阶导数导数或称为对的二阶导数,记作
所以,阶导数直线运动的阶导数加速度就是位置函数对时间的二阶导数。
几何意义
切线斜率变化率
据导数的阶导数几何意义,二阶导数按极限形式
可直接理解为曲线的切线斜率的变化率,也就是切线斜率的平均变化率。[1]
凹率
凹率可以认为是二阶导数的几何本质。
据曲线的凹凸性,时,曲线在a点上凹;时,曲线在a点下凹。
如果规定曲线在a点上凹为正,下凹为负(以下均如此设定),则凹向的正负就与的正负一致,的正负就表示曲线在a点上凹的正负。[2]
抛物线的凹率与焦准距
对于抛物线
其导函数为:
则二阶导数为,称2a为整个抛物线的凹率。
抛物线经平移可得原点为顶点的标准抛物线,参数a不变,标准抛物线方程,其中p为焦准距,定义焦准距为焦点与准线的纵坐标差,则抛物线的焦准距。
例题
设,求和。
解:用导数定义求解:
参考资料
1.也谈二阶导数的应用·中国知网
2.二阶导数的几何意义·中国知网